Serie diverxente

En matemáticas, unha serie diverxente é unha serie infinita que non é converxente, o que significa que a secuencia infinita das sumas parciais da serie non ten un límite finito.

Se unha serie converxe, os termos individuais da serie normalmente deben achegarse a cero. Así, calquera serie na que os termos individuais non se acheguen a cero normalmente diverxe. No entanto, a converxencia é unha condición máis forte: non todas as series cuxos termos se aproximan a cero converxen. Un contraexemplo é a serie harmónica

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

A diverxencia das series harmónicas foi probada polo matemático medieval Nicole Oresme.

En contextos matemáticos especializados, pódense asignar valores obxectivamente a determinadas series cuxas secuencias de sumas parciais diverxen, co fin de dar sentido á diverxencia da serie.

Un método de sumabilidade ou método de suma é unha función parcial do conxunto de series a valores. Por exemplo, a suma de Cesàro asigna as series diverxentes de Grandi

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

o valor1/2. A suma de Cesàro é un método de media, xa que se basea na media aritmética da secuencia de sumas parciais que van sendo 0 e 1 alternativamente. Outros métodos implican un prolongamento analítico das series relacionadas. En física, hai unha gran variedade de métodos de sumabilidade; estes son tratados con maior detalle no artigo sobre regularización.

Hai que ter en conta que as series diverxentes son, evidentemente, moi diferentes, por tanto asignarlles un valor, áparte de ser útil nalgúns casos, dá información sobre esta diferenza, no caso contrario simplemente dicir que o seu valor é infinito non aporta información diferenciadora.